Preparar as férias

Pois é, já cheira a férias para os pequenos do 2º ciclo!
Mas como não é bom que estejam tanto tempo sem praticar nada, vou deixando por aqui alguns links para sítios ou jogos que podem ser úteis para as dificuldades que ainda têm ou para praticarem o que já aprenderam mas não convém esquecer.

E o primeiro que aqui deixo é uma aplicação interativa (applet) muito boa para praticarem (não esquecerem e perceberem) as contas! Sim, neste caso as de subtração!
É que grande parte dos exames do 6º ano exige que saibam fazer as contas com papel e lápis e não com a calculadora, por isso, convém mantê-las vivas!
Deixo a "cara" e o link... (precisam de ter o JAVA instalado no computador, mas é grátis)

    

Divirtam-se!

Calcular com nº negativos inteiros

Os alunos do 6º ano devem estar a começar a trabalhar com os números negativos e no início as coisas nem sempre são fáceis. Mas há pequenas aplicações interativas que podem ajudar a criar à vontade com a adição algébrica (quer dizer com a adição e subtração de números positivos e negativos).
Vou deixar aqui algumas dessas aplicações que acho que são fáceis de perceber como funcionam.

LIGA 3 CASAS (é como o 4 em linha mas neste caso são 3) clica aqui

O que é preciso:
- rolar os dados - clica no botão abaixo dos dados que diz Roll the dice
- observar os números que saíram e pensar como devem ser combinados (adicionar ou subtrair? em que ordem?) para obter um valor que ainda está livre no tabuleiro
- colocar nos quadrados em branco os nºs e o sinal (+ ou -) pela ordem que se deseja
- clicar no botão que diz Place a counter

        

Atenção:
Se não se conseguires obter nenhum valor livre deves clicar no botão que diz Pass
Na parte inferior do tabuleiro aparecem 2 botões que permitem escolher:
- jogar contar o computador ou um amigo
- começar um novo jogo

COMEÇA no ZERO e CHEGA ao Nº -  clica aqui

O que aparece:
- um número no canto superior esquerdo (no caso da imagem é o 7)
- 4 arcos com dimensões diferentes e que são associados a números
- abaixo da linha numérica existe um botão com 2 setas (uma vermelha e outra preta, com sentidos contrários) que podem ser usadas para transformar nºs positivos em nºs negativos (clica num dos arcos e depois no botão das setas - na imagem foi mudado o arco do 6 e passou a ser -6)

O que é preciso:
- pensar na forma de atingir o nº proposto (aqui o 7) adicionando ou subtraindo os números que são dados
- colocar cada arco no nº onde termina o outro anterior
- começa-se sempre no ZERO

      

No final aparece um conjunto de números e os sinais de + e - para escreveres a adição algébrica - colocar os nºs e os sinais pela ordem com que efetuaste os cálculos com que chegaste ao nº (aqui foi o 7).
É o que mostra a imagem a seguir.

Divirtam-se!!!!

Outros para construir e visualizar em 3D

E agora deixo aqui um sítio onde há vários aplicações que são giras e que permitem construir com cubos ou tentar descobrir o que está construído a partir das plantas da construção.
São bons desafios até para fazerem com os vossos pais! Se calhar vocês ganham.

Como não é muito fácil encontrar o caminho deixo aqui as imagens dos 3 passos que ajudam a encontrá-los. O link está na palavra site  e na imagem do 1º passo

Passo 1 - Na entrada do site escolhe APPLETS

  

Passo 2 - Dentro dos APPLETS escolhe um dos que está dentro dos retângulos azuis (só nesta imagem)

Passo 3 - Depois é construir (aqui está o exemplo do Building Houses)

Divirtam-se, futuros arquitetos!

Mais um espaço para experimentar transformações geométricas

Aqui fica a secção de um site (Math is Fun) dedicada às Transformações Geométricas - rotação translação, reflexão ou simetria axial.
Quando se aplicam transformações geométricas a objetos (aqui são triângulos) aparecem imagens que são congruentes com os objetos (quer dizer, têm as mesmas dimensões).

 (clica aqui)

Neste site podem experimentar as 3 principais transformações (cliquem na palavra vermelha em inglês - rotation, reflection, translation ) para perceber melhor o que acontece em cada uma.

Será que são capazes de explicar por palavras ou com exemplos, o que acontece com cada transformação?

Boas experimentações!

Explorar as rotações e não só!

Encontrei outra aplicação interativa que dá para perceber o que é mais importante nas rotações. Mas esta dá para experimentarmos outras transformações geométricas.
Vamos, por agora, pensar sobre as rotações.

1. Na 1ª barra (à direita) podes escolher a transformação que queres experimentar (neste caso escolhemos rotação).
   Então vai aparecer alguma coisa na zona amarela do écra - um ponto e uma seta curva. Podes "pegar" no ponto e mudá-lo de sítio e também podes variar o tamanho da seta (pega numa das pontas da seta).
2. Na 3ª barra (à direita) podes escolher uma figura para aplicares a rotação (eu escolhi um triângulo).
3. Depois clica em ADICIONAR. Não te esqueças depois de clicar no quadradinho que está junto à palavra Imagem.

 (clica aqui)

Experimenta variar o tamanho da seta e as figuras, e pensar sobre o que acontece.

 

E agora, será que és capaz de responder a isto:

- Como se chama, numa rotação, ao PONTO e à SETA CURVA?

- Consegues ter uma ideia do valor do ângulo que aparece? Experimenta usar o transferidor para teres uma ideia aproximada desse ângulo.

 

Boas experiências!!!

Mais uma possibilidade de explorar rotações

Aqui fica mais uma aplicação interativa para "brincar" com rotações. Esta foi feita com o Geogebra e podem mudar o ângulo da rotação - mexam no ponto que está na linha à esquerda e vejam o que acontece na imagem.
O desenho azul é o original e o que aparece a vermelho é a imagem que se obtém pela rotação.
Qual é o centro da rotação?
Como é que descrevem a imagem que se consegue com um ângulo de 180º? E de 360º?

 (clica aqui)

Explorar as rotações

Vou começar uma série de mensagens com ligações para aplicações interativas que permitem "brincar" para explorar as rotações.
Esta é de um sítio em que podem escolher a língua (inglês, espanhol ou francês) - é o NLVM - onde se encontram muitas aplicações divertidas.
Nesta podem experimentar variar o ângulo da rotação (reparem que há um ponto preto num lado do ângulo que se pode movimentar); na imagem abaixo o ângulo é de 53º. Mas também se pode mudar o centro da rotação - o vértice do ângulo que aparece no écrã (nesta imagem é onde está um ponto preto mais gordo).

 (clica aqui)

Experimentem alterar cada uma dessas coisas (ângulo de rotação e centro da rotação) e vejam o que acontece à imagem do objeto original (o original é a figura que está mais abaixo e a imagem a que está na zona superior).
O que é que muda? O que é que fica na mesma?
O que é que acontece à imagem quando o ângulo é de 180º? E quando é 360º?
Coloquem um outro objeto no ecrã (escolham uma das figuras geométricas que está à direita) e tentem colocá-lo no lado do ângulo que está mais abaixo. Onde fica a imagem dessa vossa figura?
E que tal partilharem aqui algumas descobertas que fizeram?
Boas experiências...
Segue dentro de momentos!

Para ajudar a compreender os polinómios

O trabalho com variáveis e com polinómios às vezes dão dor de cabeça aos alunos... em especial quando querem multiplicar polinómios e depois os querem simplificar.
Acho que este applet - ALGEBRA TILES (clica no nome) - pode ajudar a perceber o que se passa na multiplicação de polinómios, o que significa essa multiplicação e cada um dos monómios que compõem o resultado.

Neste applet podemos representar uma multiplicação construindo rectângulos cujo comprimento e largura são os 2 factores da multiplicação.

Experimentem representar esta multiplicação
(x+2) (x+3)

1. Vão construir um rectângulo que deve ter:
  - (x+2) no comprimento (1 peça vermelha de medida x  e 2 peças verdes de 1 unidade cada um)
  - (x+3) de largura (1 peça vermelha de medida x e 3 peças verdes de 1 unidade cada um)
 
2. Têm de colocar as peças que representam o comprimento (x+2) por exemplo, na barra horizontal e a largura (x+3) na barra vertical (cliquem num dos vértices das peças para as poderem virar).

3. Depois aparece desenhado com um traço vermelho o limite de  um rectângulo para preencher com mais peças (na figura aparece uma peça que é necessária, um quadrado de lado x).

4. Agora vejam se são capazes de escrever em linguagem matemática o polinómio que resulta dessa multiplicação e vejam se percebem como é que se chega à forma reduzida.

Explorem outras multiplicações usando as outras peças que estão disponíveis.
Reparem que podem alterar o comprimento das peças x e das peças y (usem as barrinhas rosa e azul que estão na linha inferior do ecrã) mas não podem aumentar as peças verdes (de comprimento 1 e de comprimento 5 unidades).
Porque será???

Trabalhar com equações (com balanças)

Aqui ficam mais dois applets para ajudar a aprender a trabalhar com equações. Para trabalhar com o applet podes clicar aqui:

Para pensar como é que se resolvem as equações podes começar por colocar peças nos pratos da balança para representar a equação que está no canto superior esquerdo.

Quando a resolveres e souberes dizer qual o valor de x deves escrevê-lo usando os botões azuis que estão no rectângulo do canto superior direito.

Se quiseres fazer equações com mais ajuda clica no botão TUTORIAL  (no canto inferior esquerdo) e podes resolver outras equações passo a passo (é este ecrã).

Aqui está outro applet para trabalhares com equações. Para o usar deves clicar aqui.

Neste applet aparece um conjunto de etiquetas (em azul claro) com os passos para resolver uma equação mas que estão na ordem errada. Tu tens de colocar essas etiquetas na ordem certa (começando por SOLVE.... até à forma  x= ...) e, para isso, clicas nas etiquetas e arrasta-as para onde o local que achas certo. Quando estiver tudo na ordem correcta, a barra da direita fica toda amarela.

Boa sorte

Depois da Páscoa à descoberta da incógnita

Será que comeram muitas amêndoas???? Deixo aqui só a imagem para abrir o apetite para .... bem, para o próximo ano!

Agora, de volta às aulas, temos de retomar o trabalho e desta vez à volta com as equações. Está bem, eu sei que não são tão doces mas... serão um bicho de 7 cabeças???? Vamos procurar que não sejam.
E para vos ajudar a deitarem abaixo algumas das cabeças desse bicho (para ficar um bicho menos assustador e talvez até amigável) deixo-vos aqui alguns applets para explorarem com algumas orientações para cada um.

Neste applet (CLICA AQUI) aparecem equações para resolver, mas primeiro têm de colocar as peças na balança para representar a equação que vai aparecer até a balança ficar equilibrada. Observem com atenção que há pesos e balões conforme os termos têm sinal positivo ou sinal negativo.

Têm de clicar no botão que diz CONTINUE para poderem avançar para o passo seguinte da resolução da equação. Usem os botões do applet com os sinais das operações e as teclas numéricas do computador para introduzirem os valores necessários em cada passo. Vocês é que têm de decidir o que é que o computador deve fazer a seguir.

Agora este applet (CLICA AQUI) permite que vocês resolvam as equações mas também que escolham o nível (do nível 1 ao nível 5) que querem fazer.
Para cada nível há várias equações possíveis (10 para cada nível). Para irem resolvendo a equação têm de escrever a resolução e, para isso, têm de clicar no botão vermelho que tem uma SETA (no canto superior direito) para cada passo da resolução. Se quiserem emendar alguma coisa é só clicar no botão BACK (ao lado da seta). Não se esqueçam de clicar no botão CHECK para verificar se as vossas resoluções estão certas. No final, vão somando pontos de acordo com as que resolveram certas.

 

Este applet (CLICA AQUI) é parecido com o anterior mas para resolverem a equação têm de escolher o que se deve adicionar (ou multiplicar ou dividir) aos dois membros da equação para a irem simplificando até encontrarem o valor da incógnita.
Quando decidem o que deve ser feito, o applet escreve a equação simplificada a seguir à anterior (o resultado das indicações que vocês lhe deram). Aqui também podem escolher o nível das equações que querem resolver - na lista de números (1 2 3 4) que está no canto superior direito.

Espero que depois de trabalharem com alguns destes applets já se sintam mais confortáveis na resolução de equações do 1º grau... Tenho a certeza que sim.

Até breve

Para fazer cadeias de transformações

Eu gosto muito deste applet e vou experimentar usá-los com os alunos do 8º A para "brincarmos" com cadeias de transformações.
Vamos começar por usá-lo para consolidar as sequências mas acho que vai ser muito útil para trabalharmos as funções.
Vamos ver se gostam de trabalhar com ele.
Aqui fica a imagem do que podemos construir e o link (CLICA AQUI):

Experimentem e digam se gostaram...

E agora as sequências...

Vou deixar aqui alguns links para sítios onde podem experimentar e aprender sobre sequências.

Por exemplo, aqui é mesmo um jogo, é só aprenderem como é que o miúdo quer saltar para atravessar a aponte de traves... Podem escolher níveis mais fáceis ou mais difícieis. (CLICAR AQUI)

Neste encontram uma máquina que parece que quer que a alimentem com números que ela transforma a seu belo prazer... e nem sempre "devolve" números, às vezes são letras...(CLICAR AQUI )

E aqui podem trabalhar mais a sério com as sequências agora para testarem as vossas conjecturas e verem se estão correctas (CLICAR AQUI)

Espero que gostem!

Sobre ampliações e reduções

Hoje partilhamos alguns recursos que servem para explorar a noção de semelhança. Amanhã vamos explorar alguns deles no Apoio mas qualquer um pode usar em casa.

Com estes applets podem perceber melhor o conceito de ampliar e de reduzir vendo comno funciona a razão de semelhança.

Agora com este applet podem praticar o cálculo com proporções. (clica aqui) Podem:

- usar a calculadora do applet 

- verificar se a vossa resposta está certa (carreguem no botão CHECK ANSWER)

Bom trabalho...

Triângulos semelhantes e proporções

Hoje estamos de volta para colocar algumas ligações para applets que podem ser úteis para ajudar a trabalhar com a semelhança de triângulos, razões de semelhança e para saber trabalhar bem com as proporções.

À procura do lado que falta

Neste applet podes "brincar" com triângulos semelhantes, mudar os ângulos ou os lados da forma habitual de usar o Geogebra. Depois deves calcular a medida dos lados que faltas (os lados a e b). Para isso tens de escrever as proporções adequadas e resolver a equação correspondente. Mãos à obra?...

Ampliar o jogador

Neste outro applet podes ampliar a imagem de um jogador e comprovar a mudança na área da imagem que aconteceu com essa ampliação - usa as peças amarelas que são a unidade de área. Vês a diferença de uma ampliação no que acontece aos comprimentos e no que acontece às áreas?...

Ampliar e reduzir triângulos

Nesta ligação podes usar o applet para fazer experiências como homotetias e ampliares ou reduzires um triângulo com diferentes razões de semelhança e ver o que acontece às suas medidas, mas também tens uma proposta de actividade para fazer...

Ampliar o rectângulo altera a área e o perímetro

Aqui encontras um applet em que podes mudar a razão de semelhança e as dimensões de um rectângulo que depois é ampliado ou reduzido. Em seguida podes ver o que acontece às medidas dos perímetros e das áreas desses dois rectângulos.

Estes são para praticar o trabalho com as proporções:

Para resolver proporções

Reconhecer proporções

Será que consegues perceber como é que este funciona? Mas olha que é giro...

Colocar peixes nos aquários

A pensar na sessão no 1º ciclo e não só

Temos andado um pouco afastados daqui... mas temos andado a trabalhar - alguns muito bem, outros nem tanto... Mas acredito que todos nos vamos continuar a esforçar por trabalhar o melhor possível.

Eu sei que o Carnaval vem aí e que é bom que se divirtam, mas não podemos distrair-nos muito!!!
Fica aqui uma ideia de máscara (para o frio!!!) mas depois propostas para trabalho.

(podem ver a imagem toda aqui)

Há duas tarefas muito importantes a que temos de dedicar atenção:
1 - trabalhar bem nas aulas para aprender bem os tópicos que vão aparecer no teste intermédio de Matemática (vai ser em Abril) - tenho a certeza que os alunos querem ter um bom resultado
2 - preparar a actividade para alunos do 1º ciclo da escola que os alunos do 8º A vão apoiar - alguns estão bem entusiasmados e tenho a certeza que vão aprender coisas interessantes quando estão a preparar o trabalho para os mais pequenos.

Vai ser preciso, por isso, sermos muito disciplinados mas não nos podemos esquecer do que combinámos - trabalhar um dia com alunos do 1º ciclo.
Por isso, pensei que na aula de 10 de Fevereiro (a última antes do Carnaval) podemos trabalhar com applets poisvamos estar numa sala com computadores.

Como nem todos os alunos querem trabalhar com os alunos do 1º ciclo, escolhi dois tipos de applets que vamos usar:
A - uns para ajudar a aprender melhor algumas coisas que é importante os alunos do 8º A saibam bem
B - outros para serem usados com os pequeninos e que devem ver o que acham deles, mas também ter ideias de como os usar, que desafios colocar, que ajudas dar aos pequeninos.

Na aula vamos ter umas propostas de actividades para orientar o que é preciso fazer com esses applets. Vamos ver se depois há alunos que colocam alguns comentários aqui no blog!

AGORA É SÓ ESCOLHEREM E MÃOS À OBRA

A - Para praticar, explorar e pensar

- régua partida - para medir segmentos de recta com uma recta que não começa no zero
- adição com inteiros (positivos e negativos) - para praticarem a adição com números negativos e positivos (fazer e inventar problemas)
- construir com cubos - podem formar sólidos usando cubos unitários, ou identificar cubos a partir das suas planificações
- construir triângulos - para construir 2 triângulos que sejam geometricamente iguais

B - Para o 1º ciclo

- continuar padrões (de cores) - descobrir padrões e continuar colocando as peças adequadas
- continuar padrões (de cores, formas e números) - descobrir padrões e continuar colocando as peças adequadas
- esconder a joaninha - ensinar a joaninha a esconder-se dando-lhe instruções e testando-as
- dirigir a joaninha - ensinar a joaninha a desenhar figuras ou a encontrar o caminho num labirinto dando-lhe instruções e testando-as
- construir pavimentações - construir pavimentos com peças geométricas de cores e formas diferentes

Até breve

Ternos pitagóricos...

Já conhecem 3 números que são famosos por darem sempre um triângulo rectângulo - são o 3, o 4 e o 5. Quer dizer, conseguimos fazer sempre um triângulo rectângulo quando usamos segmentos de rectas com os comprimentos 3, 4 e 5 (da mesma unidade de comprimento, claro!). Isto tem a ver com o famoso Teorema de Pitágoras que em geral é apresentado assim (em que a e b são os catetos e c é a hipotenusa)

Mas há mais conjuntos de 3 números (naturais) que também são úteis para construir triângulos rectângulos. Chamamos-lhes os TERNOS PITAGÓRICOS.

Pode ser divertido observar os ternos pitagóricos e investigar algumas características ou até encontrar regularidades entre alguns deles.
Mas é preciso saber muitos casos de ternos pitagóricos, não é?
Neste sítio (clica aqui) consegues ver muitos ternos pitagóricos, parece quase uma máquina de os gerar. Escolhe a quantidade de ternos que queres que sejam mostrados e clica no botão Calculate

E deixo aqui um UM DESAFIO para te divertires algum tempo.

Escolhe uma quantidade razoável (por exemplo, 50) e observa com atenção os ternos que são gerados.

- Que coisas curiosas encontras?

- Consegues descobrir algumas regularidades, pelo menos, entre alguns dos ternos?

Mas era simpático que partilhasses as tuas descobertas aqui nos comentários. Vamos a isso???

Para praticar sobre a Raiz quadrada

A raiz quadrada é muito usada, por exemplo, quando andamos a trabalhar com o Teorema de Pitágoras.
Quando temos uma calculadora é fácil de descobrir a raiz quadrada de qualquer número - usamos a tecla com o símbolo e depois o número.
Quando o número é um quadrado perfeito também é fácil (bem, temos de saber a tabuada para vermos rapidamente qual é a raiz quadrada de um número).
Podes praticar o cálculo no caso dos quadrados perfeitos neste sítio (clica aqui). Escreve o número que achas que é a raiz quadrada do número que aparece e clica na tecla do ENTER e ficas a saber se calculaste bem.

E se não é assim? Como é que somos capazes de ter uma ideia de qual a raiz quadrada de um número?
Para estes casos é bom desenvolver formas de fazer estimativas. Uma forma é pensar em 2 quadrados perfeitos que sejam perto desse número (um maior e outro menor).
Um exemplo - quero saber a raiz quadrada de 35
- eu sei que 35 fica entre 25 (5 ao quadrado) e 36 (6 ao quadrado) - podemos escrever assim 25 < 35 < 36
- então a raiz quadrada de 35 deve ser 5 vírgula alguma coisa...
Acham que será mais perto de 5, 1 ou de 5,9????

Podes praticar o cálculo da raiz quadrada através das estimativas neste sítio (clica aqui). No caso da raiz quadrada do 92 podias pensar em 81 (quadrado de 9) e 100 (quadrado de 10). No exercício da imagem escrevias o 9 (na esquerda) e o 10 (no espaço da direita). Depois clica no botão SUBMIT

E se procurassem outras formas de calcular raízes quadradas ou de encontrar valores aproximados da raiz quadrada sem usar uma calculadora? Podem perguntar às pessoas mais velhas ou então pesquisar na net e depois contarem aqui nos comentários...

Applets para explorar o Teorema de Pitágoras???

Vamos aproveitar este espaço de comunicação para outras vertentes do nosso trabalho com a matemática... Pode ser???
Por exemplo, lembrei-me que podíamos partilhar aqui applets ou outros materiais que gostemos ou que achamos que podem ajudar a aprender melhor a compreender e usar a matemática.
Agora vamos trabalhar com o Teorema de Pitágoras e achei que podia ser bom explorarem alguns applets.

Vejam se gostam destes:

- do Shodor - este (cliquem aqui) mostra áreas e comprimentos dos lados (abaixo da figura há 2 barras que podem movimentar) e as medidas dos ângulos. Experimentem e descubram coisas curiosas! Observem bem as medidas da zona esquerda. Conseguem encontrar mais triângulos em que a medida do comprimento dos lados sejam números inteiros???

- do IES - este (cliquem aqui) é um puzzle para experimentarem reconstruir 
(1º - cliquem no botão Init e depois podem movimentar o vértice do ângulo recto do triângulo,
2º - cliquem no botão Define e agora podem movimentar as peças coloridas para encherem o quadrado maior). É sempre possível?

- do Shodor - para fazer exercícios (clica aqui) - este apresenta vários triângulos rectângulos para calculares o comprimento de um dos lados (calcula o valor do x, escreve esse valor no espaço em branco, verifica se está certo clicando no botão CHECK ANSWER depois podes fazer outro clicando em NEW TRIANGLE)

- do NLVM - este (clica aqui) é um puzzle para colocarem as peças até encherem os espaços brancos (podem rodar as peças, é só clicar num dos vértices da peça)

E que acham de partilharem coisas que descobriram ou então de fazerem perguntas giras para as pessoas descobrirem as respostas????